Three Dimensional Geometry Part 2

Given, G is the centroid of △ABC
∴G=(‌

0+α+α

3

,‌

α+0+α

3

,‌

α+α+0

3

)
=(‌

2α

3

,‌

2α

3

,‌

2α

3

)
Also given, D is a point moving on the line x+z−3=0=y
Let D=(h,0,k)
x+z−3=0⇒h+k−3=0⇒h=3−k
∴D=(3−k,0,k)
Now, length of GD=d
=√(‌

2α

3

−3+k)2+(‌

2α

3

)2+(‌

2α

3

−k)2
⇒d2=(‌

2α

3

−3+k)2+(‌

2α

3

)2+(‌

2α

3

−k)2
Differentiating both side with respect to k, we get
2dd′=2(‌

2α

3

−3+k)+0+2(‌

2α

3

−k)×(−1)
For maximum or minimum value of k,d′=0
∴0=2(‌

2α

3

−3+k)−2(‌

2α

3

−k)
⇒2(‌

2α

3

−3+k)=2(‌

2α

3

−k)
⇒−3+k=−k
⇒k=‌

3

2

∴GD2=(‌

2α

3

−3+‌

3

2

)2+(‌

2α

3

)2+(‌

2α

3

−‌

3

2

)2=‌

57

2

⇒‌

(4α−9)2

36

+‌

16α2

36

+‌

(4α−9)2

36

=‌

57

2

⇒(4α−9)2+16α2+(4α−9)2=57×18
⇒16α2−72α+81+16α2+16α2−72α+81=57×18
⇒48α2−144α+162=1026
⇒24α2−72α+81−513=0
⇒24α2−72α−432=0
⇒α2−3α−18=0
⇒α2−6α+3α−18=0
⇒α(α−6)+3(α−6)=0
⇒(α−6)(α+3)=0
⇒α=6,−3
Given, α>0
∴ Possible value of α=6