HCU MCA 2013 Paper

Question : 65 of 75

Marks: +1, -0

The solution to the differential equation (1 + xy) ydx + (1 - yx) xdy = 0 is

Solution:

(a) Given differential equation,

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;( 1 + x y ) y d x + ( 1 - x y ) x d y = 0

⇒\;\;\;\;( y d x + x d y ) + x y ^ { 2 } d x - x ^ { 2 } y d y = 0

⇒\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;d ( x y ) = x ^ { 2 } y d y - x y ^ { 2 } d x

⇒\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; { d ( x y ) } /{ x y } = ( x d y - y d x )

⇒\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{ d ( x y ) } /{ x ^ { 2 } y ^ { 2 } } = { ( x d y - y d x ) } /{ x y } ×{ x } /{ x }

⇒\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; { d ( x y ) }/ { ( x y ) ^ { 2 } } = { x }/ { y } . { ( x d y - y d x ) } /{ x ^ { 2 } }

⇒\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; { d ( x y ) }/ { ( x y ) ^ { 2 } } = d \log ( { y }/ { x } )

On integrating both sides, we get

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\∫ { d ( x y ) }/ { ( x y ) ^ { 2 } } =∫ d ( \log { y } /{ x } )

⇒\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;- { 1 }/ { x y } = C + \log { y } /{ x } = \log ( { x }/ { y } ) ^ { - 1 } + C

⇒\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;- { 1 } /{ x y } = - \log { x }/ { y } + C

⇒\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \log(x/y)-1/{xy}=C

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