HCU MCA 2013 Paper

Question : 58 of 75

Marks: +1, -0

The solution of initial value problem y" + 5y' - 6y = 0, given y(0) = 10; y'(0) = - 10 is

Solution:

(b)

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y ''+ 5 y ' - 6 y = 0

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; { d ^ { 2 } y } /{ d x ^ { 2 } } + 5{ d y }/ { d x } - 6 y = 0

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;( D ^ { 2 } + 5 D - 6 ) y = 0

Auxiliary equation is

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; m ^ { 2 } + 5 m - 6 = 0

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ m ^ { 2 } + 6 m - m - 6 = 0

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ( m + 6 ) ( m - 1 ) = 0

⇒\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;m=-6, 1

∴\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\C \F = c _ { 1 } e ^ { - 6 x } + c _ { 2 } e ^ { x }

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\PI = 0

∴ Complete solution,

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y = c _ { 1 } e ^ { - 6 x } + c _ { 2 } e^x\ ] \;\;\;\;\;\;\;\;\;... ( \i ) ( ∴ y = \CF + \Pl )

Given that;

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y ( 0 ) = 10

∴ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;10 = c _ { 1 } e ^ { - 0 } + c _ { 2 } e ^ { 0 }

⇒\;\;\;\;\;\;\;\c _ { 1 } + c _ { 2 } = 10\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...(\ii)

\and\;\;\;\;\;\;\;\;\;\y ' (0) = -10

⇒\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ y ' = - 6 c _ { 1 } e ^ { - 6 x } + c _ { 2 } e ^ { x }

⇒\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;- 10 = - 6 c _ { 1 } e ^ { - 0 } + c _ { 2 } e ^ { 0 }

⇒\;\;\;\- 6 c _ { 1 } + c _ { 2 } = - 10 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...(\iii)

On subtractingh Eq. (iii) from Eq. (ii)

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;7 C _ { 1 } = 20

⇒

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\C _ { 1 } = { 20 }/ { 7 }

and

C _ { 2 } = { 50 }/ { 7 }

∴\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ y = { 20 }/ { 7 } e ^ { - 6 x } + { 50 } /{ 7 } e ^ { x }

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