If a x + b y = 1 and b x + a y = { 2 a b }/ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } then ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) is equal to

SSC CGL Tier II 12 Jan 2017 Paper 1

Question : 74 of 100

Marks: +1, -0

a x + b y = 1

and

b x + a y =

{ 2 a b }/ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }

then

( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } )

is equal to

Solution:

(1)

ax + by – 1 = 0

b x + a y - { 2 a b }/ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = 0

By cross-multiplication.

{ x } /{ b × { - 2 a b }/ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } - a × - 1 }

= { - y }/ { a×{ - 2 a b }/ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } - b× - 1 } = { 1 }/ { a× a - b× b }

⇒ { x } /{ { - 2 a b ^ { 2 } }/ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + a } = { - y } /{ { - 2 a b ^ { 2 } }/ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + b }

= { 1 } /{ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }

⇒ { x }/ { { - 2 a b ^ { 2 } + a ^ { 3 } + a b ^ { 2 } } /{ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } }

= { - y }/ { { - 2 a ^ { 2 } b + a ^ { 2 } b + b ^ { 3 } }/ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } = { 1 } /{ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }

⇒ { x }/ { { a ^ { 3 } - a b ^ { 2 } } /{ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } = { - y } /{ { - a ^ { 2 } b + b ^ { 3 } } /{ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } = \ { 1 }/ { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }

⇒ { x }/ { { a ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) }/ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } = { - y }/ { \ { b ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) } /{ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } = { 1 }/ { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }

⇒ x = { a (a ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) }/ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }× { 1 }/ { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }

= { a } /{ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }

and

y {b (a^{2}-b^{2} )}/{a^{2}+b^{2}} ×{1}/{a^{2}-b^{2}}

= {b}/{a^{2}+b^{2}}

∴(x^{2}+y^{2} ) (a^{2}+b^{2} )

= (a^{2}+b^{2} ) ( {a^{2}}/{ (a^{2}+b^{2} )^{2}}+ {b^{2}}/{ (a^{a}+b^{2} )^{2}} )

= { (a^{2}+b^{2} ) (a^{2}+b^{2} )}/{ (a^{2}+b^{2} )^{2}}=1

Go to Question:

Prev Question

Next Question