KVPY SX SB Exam 2012 Question Paper

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Question : 88 of 120

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Consider

L=√^3 2012+√^3 2013 +...+√^3 3011

L=√^3 2013+√^3 2014 +...+√^3 3012

and

I=∫↖{3012}↙{2012} \;√^3x\;dx

, then

$L + R < 2I$
$L + R = 2I$
$L + R > 2I$
$√{LR}=I$

Solution:

L=√^3 2012+√^3 2013 +...+√^3 3011

……………(1)

L=√^3 2013+√^3 2014 +...+√^3 3012

……………(2)

I=∫↖{3012}↙{2012}x^{1\/3}dx

[Let

\f(x)=x^{1\/3}

]

n={b-a}/h

={3012-2012}/1=1000

I=(b-a)/n[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]

=[f(2010)+f(2013)+...+f(3011)]

I=(2012)^{1\/3}+(2013)^{1\/3}

+...+(3011)^{1\/3}

2I=2(2012)^{1\/3}+2(2013)^{1\/3}

+...+2(3011)^{1\/3}

=(2012)^{1\/3}+(2012)^{1\/3}+2(2013)^{1\/3}

+.....+(2)(3011)^{1\/3}+(3012)^{1\/3}

-(3012)^{1\/3}

=(2012)^{1\/3}+L+R-(3012)^{1\/3}

2I < L+ R

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