Application of Derivatives

f′′(x) - 2f′(x) + f(x) ≥ e‌x
f′′(x).e‌−x - f′(x).e‌−x -f′(x).e‌−x+ f(x).e‌−x ≥ 1

d

dx

(f′(x)e‌−x) -

d

dx

(f(x).e−x) ≥ 1

d

dx

(f′(x)e‌−x - f(x).e−x) ≥ 1
⇒

d2

dx2

(e‌−xf(x)) ≥ 1   ∀ x ∊ [0, 1]
Let ϕ(x) = e‌−xf(x)
⇒ ϕ(x) is concave upward
f(0) = f(1) = 0
⇒ ϕ(0) = 0 = ϕ(1)   ⇒  ϕ(x) < 0
⇒ f(x) < 0