अवधारणा: - यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं ⇔ 2b = a + c
- यदि a, b, c ज्यामितीय श्रेणी में हैं ⇔ b2=ac
- यदि a, b, c हरात्मक श्रेणी में हैं ⇔ b=
समान्तर श्रेणी के गुण: - यदि एक समान्तर श्रेणी के प्रत्येक पद से एक स्थिर मात्रा जोड़ी या घटा दी जाती है, तो अनुक्रम के परिणामी पद भी समान्तर श्रेणी में होते हैं।
- यदि समान्तर श्रेणी के प्रत्येक पद को गैर-शून्य स्थिर मात्रा से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो अनुक्रम के परिणामी पद भी समान्तर श्रेणी में होते हैं।
- पदों के एक परिमित संख्या की समान्तर श्रेणी में प्रारंभ और अंत से समदूरस्थ किसी भी दो पदों का योग पहले और अंतिम पदों के योग के बराबर होता है।
गणना: दिया हुआ:
b2,a2,c2 समान्तर श्रेणी में हैं।
जैसा कि हम जानते हैं, यदि समान्तर श्रेणी के प्रत्येक पद पर एक स्थिर मात्रा जोड़ी जाती है तो परिणामी पद समान्तर श्रेणी में भी होते हैं।
प्रत्येक पद में ab + ac + bc जोड़कर
b2+ab+ac+bc,a2+ab+ac+bc,c2+ab+ac+bc समान्तर श्रेणी में हैं।
⇒ b(b+ a) + c(a + b), a(a + b) + c(a + b), c(c + a) + b (c + a) समान्तर श्रेणी में हैं
⇒ (a + b)(b + c), (a + b)(a + c), (c + a)(c + b) समान्तर श्रेणी में हैं
प्रत्येक शब्द को (a + b) (b + c) (c + a) से विभाजित करके
⇒,, समान्तर श्रेणी में हैं
इसलिए c + a, b + c , a + b हरात्मक श्रेणी में हैं
या a + b, b + c, c + a हरात्मक श्रेणी में हैं