HCU MCA 2013 Paper

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Question : 73 of 75

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If

{ 2 \sinα}/ { 1 + \cos α + \sin α } = y

, then

{ 1 - \cos α + \sin α } /{ 1 + \sin α }

is equal to

$1/\y$
1 - y
y
1+y

Solution:

(c) Given that,

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; { 2 \sinα}/ { 1 + \cos α + \sin α } = y

⇒

y = { 2 \sin α }/ { 1 + 2 \cos ^ { 2 } { α }/ { 2 } - 1 + 2 \sin {α }/ { 2 } . \cos { α }/ { 2 } }

⇒y = { 2× 2 \sin { α }/ { 2 } × \cos { α }/ { 2 } }/ { 2 \cos { α} /{ 2 } ( \cos { α } /{ 2 } + \sin { α }/ { 2 } ) }

⇒y = { 2 \sin {α }/ { 2 } }/ { \sin { α } /{ 2 } + \cos {α }/ { 2 } } = { 2 \tan { α } /{ 2 } } /{ 1 + \tan { α }/ { 2 } }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...(i)

⇒y + y \tan { α }/ { 2 } = 2 \tan { α }/ { 2 }

⇒y = ( 2 - y ) \tan { α } /{ 2 }

⇒\tan { α } /{ 2 } = { y }/ { 2 - y }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...(ii)

Now, we have

{ 1 - \cos α + \sin α } /{ 1 + \sin α} = { 1 - ( 1 - 2 \sin ^ { 2 } { α }/ { 2 } ) + 2 \sin { α }/ { 2 } . \cos { α }/ { 2 } }/ { 1 + \sin α }

= { 2 \sin { α } /{ 2 } ( \sin {α } /{ 2 } + \cos { α } /{ 2 } ) }/ { ( \sin ^ { 2 } { α } /{ 2 } + \cos ^ { 2 } { α }/ { 2 } ) + 2 \sin { α }/ { 2 } . \cos { α }/ { 2 } }

= { 2 \sin { α } /{ 2 } ( \sin { α}/ { 2 } + \cos { α } /{ 2 } \ ) } /{ ( \sin { α }/ { 2 } + \cos { α } /{ 2 } ) ^ { 2 } } = { 2 \sin { α }/ { 2 } } /{ \sin { α }/ { 2 } + \cos { α } /{ 2 } }

=

y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\from \Eq. (i)]

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