If x + y + z = 0, then the value of { x ^ { 2 } y ^ { 2 } + y ^ { 2 } z ^ { 2 } + z ^ { 2 } x ^ { 2 } } /{ x ^ { 4 } + y ^ { 4 } + z ^ { 4 } } is

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Question : 100 of 100

Marks: +1, -0

If x + y + z = 0, then the value of

{ x ^ { 2 } y ^ { 2 } + y ^ { 2 } z ^ { 2 } + z ^ { 2 } x ^ { 2 } } /{ x ^ { 4 } + y ^ { 4 } + z ^ { 4 } }

Solution:

x + y + z = 0 [given]
On squaring both sides, we get

( x + y + z ) ^ { 2 } = 0

⇒ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + 2 ( x y + y z + z x ) = 0

⇒x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = - 2 ( x y + y z + z x )

Again, squaring both sides, we get

( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 2 } = 4 ( x y + y z + z x ) ^ { 2 }

⇒

x ^ { 4 } + y ^ { 4 } + z ^ { 4 } + 2 ( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + y ^ { 2 } z ^ { 2 } + x ^ { 2 } z ^ { 2 } )

= 4

[ x ^ { 2 } y ^ { 2 } + y ^ { 2 } z ^ { 2 } + z ^ { 2 } x ^ { 2 } + 2 x y z ( x + y + z ) ]

⇒x ^ { 4 } + y ^ { 4 } + z ^ { 4 } = 2 ( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + y ^ { 2 } z ^ { 2 } + x ^ { 2 } z ^ { 2 } )

∴ { x ^ { 2 } y ^ { 2 } + y ^ { 2 } z ^ { 2 } + x ^ { 2 } z ^ { 2 } } /{ x ^ { 4 } + y ^ { 4 } + z ^ { 4 } } = { 1 }/ { 2 }

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